Algebra

Ushbu atama boshqa ma’nolarga ega, qarang Algebra (ma’nolari) .Algebraik trigonometrik tenglamalar bilan tavsiflangan uch o’lchovli muntazam konoid{\ displaystyle x = v \ times \ cos (u)}, {\ displaystyle y = v \ times \ sin (u)}, {\ displaystyle z = 2 \ times \ sin (u)}

Algebra ( arab. الljbr al al jabr “to’ldirish” ^[1] ) – matematikaning arifmetikaning sintezi va kengayishi sifatida bemalol ta’riflanishi mumkin bo’lgan bo’limi ; ushbu bo’limda raqamlar va boshqa matematik ob’ektlar harflar va boshqa belgilar bilan belgilanadi, bu ularning xususiyatlarini eng umumiy shaklda qayd etish va o’rganish imkonini beradi. “Algebra” so’zi, shuningdek , turli xil algebraik tizimlar nomlarida umumiy algebrada ishlatiladi . Keng ma’noda algebra – bu matematikaning to’plamlar elementlari bo’yicha operatsiyalarni o’rganishga bag’ishlangan bo’limi deb tushuniladiraqamlarni qo’shish va ko’paytirishning odatdagi operatsiyalarini umumlashtiruvchi o’zboshimchalik tabiati ^[2] .

Algebra matematikaning bir bo’limi sifatida an’anaviy ravishda quyidagi toifalarni o’z ichiga oladi.

• Haqiqiy sonlar bilan amallarning xususiyatlarini o’rganadigan elementar algebra . Unda doimiy va o’zgaruvchilar alfavitli belgilar bilan ko’rsatilgan. Elementar algebraushbu belgilar yordamida algebraik ifodalar va tenglamalarni konvertatsiya qilish qoidalarini o’z ichiga oladi. Odatda algebra deb nomlangan maktabda o’qitiladi ^[3] .
• Umumiy algebra , ba’zan zamonaviy algebra yoki mavhum algebra deb ataladi, bu erda guruhlar , halqalar va maydonlar kabieng umumiy algebraik tuzilmalar aksiomatizatsiya qilinadi va o’rganiladi.
• Barcha algebraik tuzilmalar uchun umumiy xususiyatlarni o’rganadigan universal algebra (umumiy algebra kichik bo’limi deb hisoblanadi).
• Vektorli bo’shliqlarning xususiyatlarini(shu jumladan matritsalarni )o’rganadigan chiziqli algebra .
• Kombinatorika savollarini o’rganish uchun mavhum algebra usullari qo’llaniladigan algebraik kombinatorika 

Chiziqli algebra

Lineer algebra – bu algebraning vektorlarni, vektorli yoki chiziqli bo’shliqlarni, chiziqli xaritalarni va chiziqli tenglamalar tizimini o’rganadigan qismi . Chiziqli algebra tarkibiga shuningdek determinantlar nazariyasi, matritsalar nazariyasi, shakllar nazariyasi (masalan, kvadratik ), invariantlar nazariyasi (qisman), tensor hisobi (qisman) kiradi ^[4] . Zamonaviy chiziqli algebra vektor bo’shliqlarini o’rganishga qaratilgan ^[5] .

Lineer yoki vektorli bo’shliq {\ displaystyle V \ chap (F \ o’ng)}maydon ustidan {\ displaystyle F} Bu to’rtta buyurtma {\ displaystyle (V, F, +, \ cdot)}qayerda{\ displaystyle V} – ixtiyoriy tabiat elementlarining bo’sh bo’lmagan to’plami , ular vektorlar deb ataladi ;{\ displaystyle F} – (algebraik) maydon, uning elementlari skalar deb ataladi ;{\ displaystyle + \ nuqta V \ marta V \ dan V gacha – har bir juft elementga tayinlanadigan vektor qo’shish jarayoni {\ displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {y}} olomon {\ displaystyle V} to’plamning bitta elementi {\ displaystyle V}belgilangan {\ displaystyle \ mathbf {x} + \ mathbf {y}};{\ displaystyle \ cdot \ ikki nuqta F \ marta V \ dan V gacha – har bir elementni tayinlaydigan vektorlarni skalar bilan ko’paytirish operatsiyasi {\ displaystyle \ lambda} dalalar {\ displaystyle \ in F} va har bir element {\ displaystyle \ mathbf {x}} olomon {\ displaystyle V} to’plamning bitta elementi {\ displaystyle V}belgilangan {\ displaystyle \ lambda \ mathbf {x}};

bundan tashqari, ko’rsatilgan operatsiyalar quyidagi aksiomalarni qondiradi – chiziqli (vektor) makon aksiyomalari:

1. {\ displaystyle \ mathbf {x} + \ mathbf {y} = \ mathbf {y} + \ mathbf {x}}, har qanday kishi uchun {} displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in V}( komutativ qo’shimchalar );
2. {\ displaystyle \ mathbf {x} + (\ mathbf {y} + \ mathbf {z}) = (\ mathbf {x} + \ mathbf {y}) + \ mathbf {z}}, har qanday kishi uchun {} displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {y}, \ mathbf {z} \ in V}(qo’shilishning assotsiativligi );
3. bunday element mavjud {\ displaystyle \ theta \ in V}, nima {\ displaystyle \ mathbf {x} + \ theta = \ mathbf {x}} har kim uchun {\ displaystyle \ mathbf {x} \ in V}( qo’shilishga nisbatan neytral element mavjudligi ), xususan{\ displaystyle V} bo’sh emas;
4. har kim uchun {\ displaystyle \ mathbf {x} \ in V} bunday element mavjud {\ displaystyle – \ mathbf {x} \ in V}, nima {\ displaystyle \ mathbf {x} + (- \ mathbf {x}) = \ theta}( qo’shilishga nisbatan qarama-qarshi elementning mavjudligi ).
5. {\ displaystyle \ alpha (\ beta \ mathbf {x}) = (\ alfa \ beta) \ mathbf {x}}( skalar bilan ko’paytirishning assotsiativligi );
6. {\ displaystyle 1 \ cdot \ mathbf {x} = \ mathbf {x}}( birlik: F maydonining neytral (ko’paytirish) elementi bilan ko’paytirish vektorni saqlaydi ).
7. {\ displaystyle (\ alfa + \ beta) \ mathbf {x} = \ alfa \ mathbf {x} + \ beta \ mathbf {x}}( skalar qo’shishga nisbatan vektor bilan ko’paytirishning taqsimlanishi );
8. {\ displaystyle \ alpha (\ mathbf {x} + \ mathbf {y}) = \ alfa \ mathbf {x} + \ alpha \ mathbf {y}}( vektorlarni qo’shishga nisbatan skalar bilan ko’paytirishning taqsimlanishi ).

Geometriyada o’rganilgan evklid bo’shliqlari , affin bo’shliqlari va boshqa ko’plab bo’shliqlar vektor maydoni asosida aniqlanadi. Bir Automorphisms ortiq vektor kosmik sohasida ko’p qismli tashkil guruh uchun izomorf nondegenerate guruhi kvadrat matrisler bilan chiziqli algebra bog’lab, guruh nazariyasi guruhlar chiziqli vakolatxonalari nazariyasi bilan, xususan, ^[5] .

Chiziqli algebrada ishlatiladigan n-o’lchovli vektor bo’shliqlaridan cheksiz o’lchovli chiziqli bo’shliqlarga o’tish funktsional tahlilning ba’zi bo’limlarida o’z aksini topgan ^[4] . Yana bir tabiiy umumlashtirish – maydon emas, balki o’zboshimchalik bilan halqadan foydalanish . A uchun modul tasodifiy halqa, chiziqli algebra asosiy teoremalar tutmang. Daladagi vektor bo’shliqlarining umumiy xususiyatlari va halqa ustidagi modullar algebraik K-nazariyasida o’rganilgan

Manba:https://ru.wikipedia.org/